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Función potencial

Llamamos función potencial a la que tiene la forma

\[f(x)=x^n, \mbox{ con } n \in \mathbb{Z},\]

siendo su dominio toda la recta real.

Nos interesa estudiar el aspecto de la función potencial para diferentes valores del parámetro \(n\).

Cuando \(n=1\), tenemos una recta que pasa por el origen de coordenadas,


n: 1 $
draw2d(
  grid = true,
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Cuando \(n=2\), tenemos una parábola cuyo vértice se sitúa en el origen de coordenadas,


n: 2 $
draw2d(
  grid = true,
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Para cualquier valor entero positivo par del parámetro, tenemos una figura con dos ramas que se orientan hacia arriba; por ejemplo, para \(n=6\),


n: 6 $
draw2d(
  grid = true,
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Para cualquier valor entero impar del parámetro, tenemos una figura con dos ramas, la derecha se orienta hacia arriba y la izquiera hacia abajo; por ejemplo, para \(n=5\),


n: 5 $
draw2d(
  grid = true,
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Cuando el parámetro es negativo, se presenta un discontinuidad en \(x=0\), con lo que el dominio de la función potencial pasa a ser \(\mathbb{R}^* = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)\). Si \(n=-1\), nos encontramos con una hipérbola,


n: -1 $
draw2d(
  grid = true,
  yrange = [-10,10],
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Para cualquier otro valor impar negativo del parámetro, las dos ramas siguen estando en los cuadrantes I y III; por ejemplo, vemos el caso \(n=-3\),


n: -3 $
draw2d(
  grid = true,
  yrange = [-10,10],
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Si el parámetro es par negativo, las ramas se sitúan en los cuadrantes I y II, como en \(n=-4\),


n: -4 $
draw2d(
  grid = true,
  yrange = [-10,10],
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Queda por ver el caso \(n=0\). Puesto que \(x^0 =1, \forall x \neq 0\), la función es constante igual a 1.


n: 0 $
draw2d(
  grid = true,
  yrange = [-10,10],
  xaxis = true, yaxis= true,
  explicit(x^n, x, -5, 5)) $

Una última observación. Hemos estudiado el caso en el que el parámetro \(n\) es un número entero. Si permitimos que tome valores reales cualesquiera, el dominio de la función pasa a ser la semirrecta positiva, \((0,\infty)\). Tendremos entonces una sola rama en el cuadrante I; si \(n \gt 0\) será creciente, si \(n \lt 0\), decreciente.


draw2d(
  grid = true,
  yrange = [-1, 20],
  xaxis = true, yaxis= true,

  /* n = 2 */
  explicit(x^2, x, 0.01, 5),

  /* n = -3 */
  color = red,
  explicit(x^-3, x, 0.01, 5) ) $


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