Extremos relativos

Nos planteamos el cálculo de los extremos relativos de una función real de variable real. Procederemos del modo habitual calculando la derivada de la función bajo estudio, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante en $x$. A continuación comprobamos si se trata de un máximo o de un mínimo según el signo de la segunda derivada.

Tomamos como función objetivo el polinomio cúbico $f(x)=4 x^3-10 x^2-5 x+1$.

/* Definimos la función */
g: 4*x^3-10*x^2-5*x+1;

/* Hacemos el gráfico para ver su aspecto */
draw2d(explicit(g, x, -4, 4)) $

Comenzamos el procedimiento analítico calculando la derivanda, igualando a cero y resolviendo la ecuación resultante.

/* Calculamos la derivada */
d: diff(g, x)$

/* Anulamos derivada y resolvemos */
z: solve(d=0);

$$\left[ x=-{{2\,\sqrt{10}-5}\over{6}} , x={{2\,\sqrt{10}+5}\over{6}}\right]$$

Ya por último, obtenemos la segunda derivada y la evaluamos en los puntos críticos anteriores.

/* Calculamos la segunda deriva */
d2 : diff(g, x, 2) $

/* Signo de la curvatura en el primer punto crítico */
sign(subst(x=rhs(z[1]), d2));

/* Signo de la curvatura en el primer punto crítico */
sign(subst(x=rhs(z[2]), d2));

$${\it neg}$$ $${\it pos}$$

Los cálculos anteriores nos permiten deducir que la función $g$ tiene un máximo relativo en $x=-{{2\,\sqrt{10}-5}\over{6}}$ y un mínimo relativo en $x={{2\,\sqrt{10}+5}\over{6}}$.

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