Nos planteamos el cálculo de los extremos relativos de una función real de variable real. Procederemos del modo habitual calculando la derivada de la función bajo estudio, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante en \(x\). A continuación comprobamos si se trata de un máximo o de un mínimo según el signo de la segunda derivada.
Tomamos como función objetivo el polinomio cúbico \(f(x)=4 x^3-10 x^2-5 x+1\).
/* Definimos la función */ g: 4*x^3-10*x^2-5*x+1; /* Hacemos el gráfico para ver su aspecto */ draw2d(explicit(g, x, -4, 4)) $
Comenzamos el procedimiento analítico calculando la derivanda, igualando a cero y resolviendo la ecuación resultante.
/* Calculamos la derivada */ d: diff(g, x)$ /* Anulamos derivada y resolvemos */ z: solve(d=0);
\[\left[ x=-{{2\,\sqrt{10}-5}\over{6}} , x={{2\,\sqrt{10}+5}\over{6}}\right]\]
Ya por último, obtenemos la segunda derivada y la evaluamos en los puntos críticos anteriores.
/* Calculamos la segunda deriva */ d2 : diff(g, x, 2) $ /* Signo de la curvatura en el primer punto crítico */ sign(subst(x=rhs(z[1]), d2)); /* Signo de la curvatura en el primer punto crítico */ sign(subst(x=rhs(z[2]), d2));
\[{\it neg}\] \[{\it pos}\]
Los cálculos anteriores nos permiten deducir que la función \(g\) tiene un máximo relativo en \(x=-{{2\,\sqrt{10}-5}\over{6}}\) y un mínimo relativo en \(x={{2\,\sqrt{10}+5}\over{6}}\).
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