Rectas y planos

Se nos plantea el siguiente problema.

Determina la ecuación de la recta secante a las rectas de ecuaciones $$r: \left\{ \begin{array}{cl} x & = 2+t \\ y & = 1 \\ z & = t-1 \end{array} \right. ; t \in \mathbb{R},$$ y $$s: \frac{x-2}{2} = y-5 = z-2,$$ sabiendo que pasa por el punto $A(0,0,1)$.

La estrategia que vamos a seguir es la de calcular los planos que contienen a cada una de las rectas y al punto A. Ambos planos formarán las ecuaciones cartesianas de la recta pedida.

Guardamos en una variable las coordenadas del punto A,

A: [0,0,1]$

De la ecuación paramétrica que define r obtenemos un punto por el que pasa y un vector de dirección,

P1: [2,1,-1]$
v1: [1,0,1]$

El primer plano que buscamos contiene a A y tiene como uno de sus vectores de dirección el de la propia recta; como segundo vector podemos tomar $\vec{P_1 A}$, con lo que la ecuación del plano será

P1A: A - P1$
plano1: expand(determinant(matrix([x,y,z]-P1, v1, P1A)))=0;

$$-z-4\,y+x+1=0$$

Acabamos de calcular $$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -z-4\,y+x+1=0.$$

Por otro lado, de la ecuación continua que defiene s también obtenemos punto y vector,

P2: [2,5,2] $
v2: [2,1,1]$

El plano que contiene a esta recta y al punto A es

P2A: A - P2$
plano2: expand(determinant(matrix([x,y,z]-P2, v2, P2A)))=0;

$$-8\,z+4\,x+8=0$$

Es decir, $$\begin{vmatrix} x-2 & y-5 & z-2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -5 & -1 \end{vmatrix} = -8\,z+4\,x+8=0.$$

Como conclusión de todo lo anterior, la recta pedida tiene las ecuaciones cartesianas dadas por

[plano1, plano2];

$$\left[ -z-4\,y+x+1=0 , -8\,z+4\,x+8=0 \right]$$

Veamos el aspecto que tiene todo este asunto:

load(draw)$
draw_renderer = vtk$

draw3d(
    terminal = vrml,
    
    /* primera recta */
    line_type  = tube,
    line_width = 0.3,
    parametric(2+t, 1, t-1, t,-10,10),
    
    /* segunda recta */
    parametric(2+2*t, t+5, t+2, t,-7,5),
    
    /* punto */
    point_type = sphere,
    color      = yellow,
    points([[0,0,1]]),

    /* primer plano */
    color = red,
    implicit(x-4*y-z+1=0,x,-10,10,y,-10,10,z,-10,10),

    /* segundo plano */
    color = green,
    implicit(x-2*z+2=0,x,-10,10,y,-10,10,z,-10,10) );

Arrastra el ratón para mover la escena.

Las dos rectas azules y el punto amarillo son los datos que nos da el enunciado. Los planos rojo y verde son los que hemos calculado. La intersección de los planos es la recta que pasa por el punto y es secantes a las recta dadas.

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