Reparaciones perfectas.
Modelo HPP.

El proceso homogéneo de Poisson

Suponemos un sistema que se mantiene en funcionamiento hasta que se produce un fallo; a continuación se repara, dejándolo como nuevo, y se vuelve a poner en servicio hasta el próximo fallo, repitiéndose este procedimiento de forma indefinida. Este modelo se denomina de reparación perfecta o AGAN (As Good As New).

El modelo más sencillo para estas situaciones es el del Proceso homogéneo de Poisson o HPP (Homogeneous Poisson Process), que definimos en los siguietes términos:

La familia de variables aleatorias $\{N(t), t\gt 0\}$ es un proceso HPP si se cumplen las siguientes condiciones:

• $N(0)=0$
• $N(t) \in \mathbb{N}, \forall t$
• $N(t_1) \leq N(t_2)$ si $t_1 \lt t_2$
• $[N(t_1)-N(0)], [N(t_2)-N(t_1)], [N(t_3)-N(t_2)], \ldots$ son v.a. independientes para $0 \lt t_1 \lt t_2 \lt t_3, \ldots$, (condición de los incrementos independientes).
• Para cualesquiera $t \gt s \geq 0$ y $c \gt 0$ las v.a. $[N(t)-N(s)]$ y $[N(t+c)-N(s+c)]$ tienen la misma distribución de probabilidad, (condición de estacionariedad).
• $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\Pr(N(h)=1)}{h}=\lambda$, lo cual se interpreta como que la probabilidad de fallo en un intervalo pequeño es $\lambda h$.
• $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\Pr(N(h) \geq 2)}{h}=0$, lo que se interpreta como que la probabilidad de dos o más fallos en un intervalo pequeño es 0.

En lenguaje más llano, $N(t)$ es el número de fallos que ha experimentado el sistema durante el intervalo temporal $(0, t]$ y experimentará un incremento de una unidad cada vez que se produzca un fallo. Si el sistema falla en los instantes $s_1, s_2, \ldots$, estos puntos son las realizaciones de cierto proceso $\{S_i, i \in \mathbb{N}\}$. Entre dos fallos consecutivos transcurre un tiempo aleatorio definido por $T_i=T_{i}-T_{i-1}$, lo que define otro proceso estocástico de interés, $\{T_i, i \in \mathbb{N}\}$.

Hay tres variables aleatorias cuyas distribuciones son de interés:

• Número de fallos en un intervalo de tiempo $(v_1,v_2]$: se trata de la variable $N(v_2)-N(v_1)$, cuya distribución es de Poisson de parámetro $\lambda (v_2-v_1)$, que solo depende de la amplitud del intervalo temporal. Su función de probabilidad es $p(k)=(\lambda v)^k e^{-\lambda v}/k!$, con $k \in \mathbb{N}$ y $v=v_2-v_1$.
• Tiempo que transcurre entre dos fallos consecutivos: las variables aleatorias $T_i$ son independientes y tienen distribución exponencial de parámetro λ, por lo que su función de densidad es $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \forall t \geq 0$.
• Tiempo de espera para que se produzcan exactamente n fallos: es la variable $S_n$, que se distribuye con una gamma de parámetros $a=n$ y $s=1/\lambda$, por lo que su función de densidad es $f_n(t)=\lambda e^{-\lambda t} (\lambda t)^{n-1}/(n-1)!$, $\forall t \geq 0$.

Estimación del parámetro λ

Si el sistema se pone en funcionamiento y se mantiene en observación hasta que se producen exactamente n fallos con sus respectivas reparaciones perfectas, registrándose los tiempos transcurridos entre dos fallos consecutivos, $t_1, t_2, \ldots, t_n$, teniendo en cuenta que estos valores son realizaciones de una distribución exponencial de parámetro λ, se puede obtener su función de verosimilitud,

f(t):= lambda * exp(- lambda * t)$
L: prod(f(t[i]), i, 1, n);

$$\prod_{i=1}^{n}{\lambda\,e^ {- t_{i}\,\lambda }}$$

Si se toman logaritmos, se deriva e iguala cero, siguiendo el procedimiento habitual, al aislar λ se obtiene el estimador de máxima verosimilitud de este parámetro.

simpsum : true$
mv: solve(diff(log(L), lambda)=0, lambda);

$$\left[ \lambda={{n}\over{\sum_{i=1}^{n}{t_{i}}}} \right]$$

Ahora bien, la suma de los tiempos $t_i$ es igual al tiempo total de observación T,

subst([sum(t[i],i,1,n)=T], mv);

$$\left[ \lambda={{n}\over{T}} \right]$$

Finalmente se ha llegado a la conclusión de que el estimador de máxima verosimilitud de λ depende únicamente del tiempo total de observación, T, y del número total de fallos observados, n.

Más general, si se observan N sistemas de forma independiente y bajo las misma condiciones, cada uno de ellos durante el tiempo $T_q$ necesario para que se produzcan exactamente $n_q$ fallos, con $q=1,2, \ldots, N$, el estimador m.v. se expresa de la forma $$\hat{\lambda} = \frac{\sum_{q=1}^N n_q}{\sum_{q=1}^N T_q}.$$

Cantidades de interés

Una vez se dispone de un estimador del parámetro λ, es posible calcular algunas cantidades que caracterizan al proceso.

• Tiempo medio entre fallos: se conoce también por sus siglas en inglés, MTBF (Mean Time Between Failures), y es la esperanza de las variables exponenciales $T_i$, por lo que $$MTBF = \frac{1}{\lambda}.$$
• Número esperado de fallos durante un intervalo de tiempo $(0,t]$: es la esperanza de la variable Poisson $N(t)$; su valor es $E[N(t)]=\lambda t$.
• Tasa de fallo: se relaciona con el apartado anterior y se define como $w(t)=\frac{d E[N(t)]}{dt}$, que para el modelo HPP se reduce a $w(t)=\lambda$, que es constante, por lo que en el modelo HPP el riesgo de que se produzca un fallo no aumenta ni disminuye con el tiempo. A la tasa de fallo se la conoce también por las siglas ROCOF (Rate Of Occurrence Of Failures).
• Tiempo de espera medio para que se produzcan n fallos: es la esperanza de la variable gamma $S_n$, cuyo valor es $n / \lambda$.
• Probabilidad de que ocurra al menos un fallo en el intervalo $(0,t]$: haciendo uso de la distribución de Poisson, $$\Pr(N(t) \gt 1) = 1-\Pr(N(t)=0) = 1-e^{-\lambda t}.$$

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