El análisis de inventarios trata del mantenimiento de bienes almacenados y dispuestos para ser usados o vendidos. Entran en juego diferentes tipos de costes económicos, como los que se derivan del propio almacenamiento, la compra de nuevas remesas para reponer en el almacén, o los gastos en que se incurre cuando una demanda no puede ser satisfecha por falta de existencias.
El responsable del almacén debe decidir cuándo ordenar una nueva remesa y en qué cantidades con el fin de minimizar los costes.
Los modelos de inventarios pueden ser deterministas o estocásticos, dependiendo del conocimiento que se tenga del comportamiento de la demanda.
Tratamos aquí la situación en la que almacenamos un solo producto con demanda aleatoria con distribución de probabilidad conocida; es decir, en un instante t arbitrario se demandará una cantidad z con densidad de probabilidad \(f(z)\). El modelo que vamos a estudiar es para un solo período, al principio del cual se debe satisfacer la demanda.
El modelo sigue el siguiente esquema: suponemos que partimos de un inventario con x unidades ya almacenadas, y sabemos que en el instante inicial se va a producir un pedido aleatorio de z unidades con distribución de probabilidad conocida. Lo que debemos decidir es cuántas unidades y debe haber en el inventario, y por lo tanto reponer \(y-x\), para minimizar costes. Si la demanda es menor que lo disponible en el almacén, tendremos que hacer frente a costes de almacenamiento; si la demanda es mayor, los costes serán los debidos a las demandas no satisfechas.
Los elementos que forman parte de este modelo son los siguientes:
La función de coste total es la suma del coste de producción, más el coste de mantenimiento, más el de penalización. Al ser la demanda una variable aleatoria, el coste también lo es, siendo su esperanza \(E[C(y,Z)]\):
assume(y>0)$ E: c*(y-x) + integrate(p*(z-y)*f(z),z,y,inf) + integrate(h*(y-z)*f(z),z,0,y);
\[ p\,\int_{y}^{\infty }{\left(z-y\right)\,f\left(z\right)\;dz}+h\, \int_{0}^{y}{\left(y-z\right)\,f\left(z\right)\;dz}+c\,\left(y-x \right) \]
Hemos utilizado el hecho de que si la demanda es menor que la cantidad almacenada en inventario, \(z \lt y\), la penalización es nula; además, si la demanda es mayor que el inventario, \(z \gt y\), el coste de mantenimiento también se anula.
El problema que se plantea es \[ \begin{array}{rc} \mbox{Min.} & E[C(y,Z)] \\ \mbox{sujeto a} & y \geq x \end{array} \]
Puestos a minimizar el coste esperado, derivamos respecto de y, la cantidad de producto que queremos que haya en almacén antes de que se produzca la demanda,
dE: diff(E,y);
\[ -p\,\int_{y}^{\infty }{f\left(z\right)\;dz}+h\,\int_{0}^{y}{f\left( z\right)\;dz}+c \]
Puesto que \(f(z)\) es una función de densidad de probabilidad, hacemos uso de la igualdad \[ \int_0^y f(z) dz + \int_y^\infty f(z) dz = 1, \]
dE: subst(integrate(f(z), z, y, inf)= 1 - integrate(f(z), z, 0, y), dE);
\[ h\,\int_{0}^{y}{f\left(z\right)\;dz}-p\,\left(1-\int_{0}^{y}{f \left(z\right)\;dz}\right)+c \]
Despejamos ahora la expresión integral,
solve(dE, integrate(f(z), z, 0, y));
\[ \left[ \int_{0}^{y}{f\left(z\right)\;dz}={{p-c}\over{p+h}} \right] \]
Teniendo en cuenta que la integral es la función de distribución de la variable aleatoria Z, podemos decir que la cantidad óptima \(y^*\) de unidades que debe haber en el inventario antes de que se produza la demanda debe cumplir \[ F(y^*)={{p-c}\over{p+h}}, \] lo que nos llevaría a tener que reponer \(y^*-x\) unidades, ya que x es la cantidad que ya había antes de comenzar el periodo.
Por ejemplo, si se da el caso en el que el coste unitario de reposición es c=0.5, el de mantenimiento de almacén h=0.5 y el de penalización por cada demanda no satisfecha es p=4.5, siendo el caso que la demanda aleatoria Z tiene distribución continua uniforme en el intervalo [0,1000], hacemos:
load(distrib)$ (c: 0.5, h: 0.5, p: 4.5, a: 0, b: 1000)$ yopt: quantile_continuous_uniform ((p-c)/(p+h),a,b);
\[ 800.0 \]
Si la cantidad ya disponible en el almacén es \(x \geq 800\), no es necesario reponer, pero si \(x \lt 800\), la reposición sería de 800-x unidades de producto.
Para calcular el coste de este plan de inventario, necesitamos sustituir en el coste estimado los costes individuales p, h y c, el valor óptimo calculado \(y^*\), la expresión de la función de densidad para Z y ajustamos el límite de integración para esta densidad,
E: subst(['p=p,'h=h,'c=c,y=yopt,f(z)=1/(b-a),inf=b], E);
\[ 0.004500000000000001\,\int_{800.0}^{1000}{z-800.0\;dz}+ \\ 5.0 \times 10^{-4}\,\int_{0}^{800.0}{800.0-z\;dz}+0.5\,\left(800.0-x \right) \]
forzamos el cálculo de las integrales,
ev(E,nouns);
\[ 0.5\,\left(800.0-x\right)+250.0 \]
El coste de este plan de inventario depende, como era de esperar, de la cantidad que ya hubiese inicialmente en el almacén, \(x \lt 800\).
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