Definición y manipulación de matrices

Introduciendo matrices

De manera informal, una matriz es un conjunto de expresiones, generalmente números, colocadas ordenadamente en disposición rectangular.

Hay varias maneras de introducir matrices en Maxima, pero la más corriente es llamando a la función matrix y pasarle como argumentos las filas de la matriz. Para introducir la matriz $$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 6 & 0 & -2 \\ 0 & 6 & a \end{pmatrix}$$ haremos:

matrix([3,4,0],[6,0,-2],[0,6,a]);

$$\pmatrix{3&4&0\cr 6&0&-2\cr 0&6&a\cr }$$

Introducimos una matriz fila de esta forma:

matrix([3,x,0,7/3]);

$$\pmatrix{3&x&0&{{7}\over{3}}\cr }$$

Y así una matriz columna:

matrix([3],[a+b],[v/9]);

$$\pmatrix{3\cr b+a\cr {{v}\over{9}}\cr }$$

Algunas matrices tienen funciones especiales para su construcción, como la matriz identidad,

/* de orden 3 */
ident(3);

$$\pmatrix{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1\cr }$$

La matriz nula de dimensiones $2 \times 4$,

zeromatrix(2,4);

$$\pmatrix{0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr }$$

Las funciones addcol y addrow permiten añadir columnas o filas a una matriz. Empezamos por introducir una matriz,

m: matrix([1,2,3], [a,b,c]);

$$\pmatrix{1&2&3\cr a&b&c\cr }$$

Le añadimos una columna:

addcol(m, [x,y]);

$$\pmatrix{1&2&3&x\cr a&b&c&y\cr }$$

Le añadimos una fila:

addrow(m, [x,y,z]);

$$\pmatrix{1&2&3\cr a&b&c\cr x&y&z\cr }$$

Matriz transpuesta

Dada una matriz M, su matriz transpuesta, que representamos por $M^t$ se construye cambiando filas por columnas.

M: matrix([3,4,0],[6,0,-2],[0,6,a]) $
transpose(M);

$$\pmatrix{3&6&0\cr 4&0&6\cr 0&-2&a\cr }$$

Rango de una matriz

El rango de una matriz indica el número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Comprobamos que $$\mbox{rango} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 6 & 0 & -2 \\ 0 & 6 & a \end{pmatrix} = 3,$$

M: matrix([3,4,0],[6,0,-2],[0,6,a])$
rank(M);

$$3$$

Ahora comprobamos que $$\mbox{rango} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 6 & 0 & -2 \\ 9 & 4 & -2 \end{pmatrix}= 2,$$ ya que la tercera fila es suma de las dos primeras,

M: matrix([3,4,0],[6,0,-2],[9,4,-2]);
rank(M);

$$2$$

Accediendo a los elementos de una matriz

Una vez definida la matriz, podemos acceder a sus elementos fácilmente,

m: matrix([1/3,5],[a,-2],[6,x+y]) $

/* obtenemos el elemento de la fila 3, columna 2 */
m[3, 2];

$$y+x$$

Cambiamos el valor de un elemento de la matriz,

m[3, 2]: sqrt(%pi) $
m;

$$\pmatrix{{{1}\over{3}}&5\cr a&-2\cr 6&\sqrt{\pi}\cr }$$

Si queremos extraer una submatriz, haremos uso de la función submatrix; aquí extraemos de la matriz A las filas 1 y 2, y también la columna 3,

A: matrix([2,4,0,5],[j,6,0,-2],[u,0,6,a]);

$$\pmatrix{2&4&0&5\cr j&6&0&-2\cr u&0&6&a\cr }$$

submatrix(1,2,A,3);

$$\pmatrix{u&0&a\cr }$$

© 2016, TecnoStats.