Dada una matriz \(A\), si encontramos otra matriz que al multiplicarla por \(A\) da como resultado la matriz identidad, la llamaremos matriz inversa. Representamos a la matriz inversa de \(A\) como \(A^{-1}\).
Vamos a comprobar que el producto de las dos matrices siguientes es igual a la matriz identidad,
\[ A = \pmatrix{1&2\cr 1&1}, B = \pmatrix{-1&2\cr 1&-1}, \]
A: matrix([1,2], [1,1]) $ B: matrix([-1,2], [1,-1]) $ A.B;
\[ \pmatrix{1&0\cr 0&1\cr } \]
Así podemos decir que \(A=B^{-1}\) o que \(B=A^{-1}\).
Queremos calcular la matriz
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}. \]
Calculamos la inversa elevando a -1 y hacemos la comprobación. Recuerda que para elevar una matriz a una potencia tenemos que utilizar el operador ^^.
A: matrix([1,0,1],[3,4,1],[1,1,1]) $ /* calculamos la inversa */ B: A^^-1;
\[ \pmatrix{{{3}\over{2}}&{{1}\over{2}}&-2\cr -1&0&1\cr -{{1}\over{2}} &-{{1}\over{2}}&2\cr } \]
Multiplicamos ambas matrices para comprobar que son inversas.
B . A;
\[ \pmatrix{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1\cr } \]
Una manera alternativa de invertir una matriz es hacer uso de la función invert, así calculamos
\[\pmatrix{1&0&4&1\cr 3&4&7&0\cr 5&2&8&1\cr 5&0&0&3\cr }^{-1}\]
invert(
matrix([1,0,4,1],
[3,4,7,0],
[5,2,8,1],
[5,0,0,3]));
\[ \pmatrix{-{{27}\over{62}}&-{{6}\over{31}}&{{12}\over{31}}&{{1 }\over{62}}\cr {{1}\over{62}}&{{14}\over{31}}&-{{25}\over{62}}&{{4 }\over{31}}\cr {{11}\over{62}}&-{{1}\over{31}}&{{2}\over{31}}&-{{5 }\over{62}}\cr {{45}\over{62}}&{{10}\over{31}}&-{{20}\over{31}}&{{19 }\over{62}}\cr } \]
También podemos calcular potencias de exponente negativo, que se interpretan como \(A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^n\) o \(A^{-n}=\left(A^{n}\right)^{-1}\); por ejemplo, veamos el cálculo de
\[\pmatrix{1&0\cr 3&4\cr }^{-3}\]
A: matrix([1,0],[3,4]) $ A^^-3;
\[ \pmatrix{1&0\cr -{{63}\over{64}}&{{1}\over{64}}\cr } \]
El determinante de una matriz cuadrada \(A\) es un número asociado a ella que se calcula por un procedimientos determinado; lo representamos por \(|A|\). Podemos calcular determinantes con la función determinant. Vamos a calcular el siguiente determinante
\[\begin{vmatrix}1&0&4&1\cr 3&4&7&0\cr 5&2&8&1\cr 5&0&0&3\cr \end{vmatrix}\]
determinant(
matrix([1,0,4,1],
[3,4,7,0],
[5,2,8,1],
[5,0,0,3]));
\[ -124 \]
La importancia que tiene para nosotros en el contexto actual es que una matriz cuadrada tiene inversa solo si su determinante es diferente de cero. Por ejemplo, la siguiente matriz tiene un parámetro \(k\) al que podemos darle cualquier valor, obteniendo una familia de matrices. La pregunta es: ¿alguna de estas matrices no tiene inversa? Lo único que tenemos que hacer es encontrar el valor de \(k\) que anule al determinante,
\[A=\begin{pmatrix}3&5&9&7\cr k&4&-1&5\cr -7&1&k&0\cr 3&7&-3&1\cr \end{pmatrix}\]
A: matrix([3,5,9,7],
[k,4,-1,5],
[-7,1,k,0],
[3,7,-3,1]) $
/* calculamos determinante, en función de k.
Utilizamos expand para obtener una expresión
simplificada */
d: expand(determinant(A));
\[ 44\,k^2-72\,k-2396 \]
Igualamos a cero y resolvemos la ecuación,
solve(d=0);
\[ \left[ k=-{{\sqrt{6670}-9}\over{11}} , k={{\sqrt{6670}+9}\over{11}} \right] \]
El resultado nos dice que cuando \(k=-{{\sqrt{6670}-9}\over{11}}\) o \(k=-{{\sqrt{6670}+9}\over{11}}\), la matriz no tiene inversa; para cualquier otro valor sí tiene, por ejemplo para \(k=\frac{2}{5}\),
k: 2/5 $
A: matrix([3,5,9,7],
[k,4,-1,5],
[-7,1,k,0],
[3,7,-3,1]) $
invert(A);
\[ \pmatrix{{{55}\over{5037}}&-{{595}\over{30222}}&-{{3925}\over{30222 }}&{{665}\over{30222}}\cr {{64}\over{1679}}&-{{845}\over{10074}}&{{ 775}\over{10074}}&{{1537}\over{10074}}\cr {{965}\over{10074}}&-{{ 4075}\over{30222}}&{{1055}\over{30222}}&{{55}\over{15111}}\cr -{{41 }\over{3358}}&{{2435}\over{10074}}&-{{445}\over{10074}}&-{{620 }\over{5037}}\cr } \]
© 2016, TecnoStats.