Aproximación de Taylor

Recordamos que una función $f: D \mapsto R$, con $D \subset R$, infinitamente diferenciable en un entorno del punto $a \in D$, puede expresarse del siguiente modo: $$f(x)= f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x-a)^3 + \ldots$$

La expresión anterior es el polinomio de Taylor; nosotros debemos elegir cuántos términos utilizamos en la aproximación. A mayor grado del polinomio, más fiel será la aproximación polinómica en el entorno de $a$.

La función que definimos a continuación nos representará tanto la función como el polinomio de Taylor, gráfica y simbólicamente.

fpprintprec: 4 $

ptaylor(f,n,x0,r):= 
 block([xmin,xmax,pt],
   [xmin,xmax]: float([x0-r, x0+r]),
   if not listofvars(f) = [x] or
       not numberp(xmax) or 
       not integerp(n) or
       n <= 0
     then out("Entrada incorrecta")
     else ( pt: float(factor(taylor(f, 'x, x0, n))),
            draw2d(
              key = "Polinomio de Taylor, p(x)",
              color = cyan,
              explicit(pt,'x,xmin,xmax),
              key = "f(x)",
              color = blue,
              explicit(f,x,xmin,xmax),
              key = "g(x)",
              grid = true,
              xaxis = true,
              xaxis_type = solid,
              yaxis = true,
              yaxis_type = solid),
            expand(pt)));

La función ptaylor recién programada necesita cuatro argumentos: la expresión simbólica de la función con variable independiente x, el grado del polinomio de Taylor, el punto alrededor del cual se hace la aproximación y el radio del entorno para la representación gráfica.

Empezamos con el polinomio de grado uno en el punto de abscisa $x=1$, que no es otro que la recta tangente en ese punto,

ptaylor(sin(x^2), 1, %pi/3, 1) ;

$$0.96\,x-0.11$$

Aproximación de grado dos,

ptaylor(sin(x^2), 2, %pi/3, 1) ;

$$-1.495\,x^2+4.087\,x-1.751$$

Aproximación de grado tres,

ptaylor(sin(x^2), 3, %pi/3, 1) $

$$-2.562\,x^3+6.556\,x^2-4.343\,x+1.192$$

© 2011-2016, TecnoStats.